BILANGAN JAM
A.
Operasi
Penjumlahan
Pada Bilangan Jam
Penjumlahan
pada bilangan jam merupakan suatu operasi perputaran jarum jam ke arah kanan (positif).
Pada
kondisi awal, jam menunjukan jam 4. Kemudian kalau jarum jam di gerakan ke arah
kanan jam menunjukan jam 1.
Hal
ini dapat dikatakan bahwa:
4+1=1 (penjumlahan
, seperti terlihat pada gambar 3.1 di atas).
4+3=3
2+3=1
3+4=1
Pada
sistem jam delapanaan, coba Anda
perhatikan contoh-contoh
berikut:
3+4=7
5+3=8
6+3=1
8+2=2
4+7=3
7+6=5
Dengan
memperhatikan contoh di atas maka dapat digeneralisasi penjumlahan bilangan
pada sistem jam k-an.
Jika a, b, merupakan
angka-angka pada jam k-an, maka akan berlaku:
a+b=
(a+b)-k, jika(a+b)>k
Contoh
1:
Pada sistem jam
delapanaan, tentukan nilai dari:
a)
3+2.
b)
5+2.
c)
6+7.
d)
5+7.
e)
7+7.
Penyelesaian :
k=8
a)
3+2=5, karena 5<8.
b)
5+2=7, karena 7<8.
c)
6+7=13-8=5, karena
13>8.
d)
5+7=12-8=4 ,karena
12>8.
e)
7+7=14-8=6, karena
14>8.
B.
Operasi
Pengurangan Pada Bilangan Jam
Pengurangan
pada bilangan jam merupakan suatu operasi perputaran jarum jam ke arah kiri
(negatif).
Pada
kondisi awal jam menunjukan jam 4. Kemudian kalau jarum jam digerakan ke arah
kiri, jam menunjukan jam 3. Hal ini dapat dikatakan bahwa:
4-1=3 (pengurangan,
seperti terlihat pada gambar 3.3 di atas).
Coba Anda perhatikan
contoh-contoh berikut:
3-2=1.
4-3=1.
4-2=2.
2-3=3.
3-4=3
2-2=4.
Pada sistem delapanan, coba Anda perhatikan
contoh-contoh berikut:
5-4=1.
7-3=4.
8-2=6.
1-4=5.
3-4=7.
Dari contoh di atas dapat
digeneralisasikan pengurangan bilangan pada sistem jam k-an.
Jika a, b, merupakan
angka-angka pada jam k-an, maka akan berlaku:
a-b
=
a-b ,
jika a-b>0
Contoh
2:
Pada
sistem jam delapanan, tentukanlah
nilai dari:
(1)
3-2.
(2)
5-3.
(3)
6-7.
(4)
5-7.
(5)
7-7.
Penyelesaian:
k
= 8
(1)
3 - 2 = 1, karena
1>0.
(2)
5 - 3 = 2, karena
2>0.
(3)
6 - 7 = - 1 + 8 = 7,
karena -1 < 0.
(4)
5 - 7 = -2 + 8 = 6,
karena -2 < 0.
(5)
7 - 7 = 0 + 8 = 8,
karena 0 =
0.A
C.
Operasi Perkalian Pada Bilangan Jam
Perkalian bilangan jam merupakan suatu
operasi penjumlahan angka-angka yang sama berulang kali pada bilangan jam.
Misalnya, 3 x 4 = 4 + 4 + 4 + 4.
Contoh
3:
Pada sistem jam
delapanan, tentukan hasil dari:
(1)
2 x 4.
(2)
3 x 2.
(3)
3 x 4.
(4)
5 x 3.
(5)
4 x 7.
Penyelesaian:
k
= 8
(1)
2 x 4 = 4 + 4 = 8.
(2)
3 x 2 = 2 + 2 + 2 = 6.
(3)
3 x 4 = 4 + 4 + 4 = 12
– 8 = 4.
(4)
5 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 +
3 = 15 – 8 = 7.
(5)
4 x 7 = 7 + 7 + 7 + 7 =
28 – (3x8) = 28 – 24 = 4.
Dengan
memperhatikan contoh-contoh di atas maka dapat digeneralisasi pengurangan
bilangan pada sistem jam k-an.
Jika
a, b, merupakan angka-angka pada jam k-an, maka akan berlaku:
a
x b = (a x b) – nk; n є { bilangan cacah}
Contoh 4:
Pada
sistem jam duabelasan, tentukanlah hasil dari:
(1)
4 x 2.
(2)
5 x 2.
(3)
6 x 4.
(4)
7 x 5.
(5)
8 x 10.
Penyelesaian:
(1)
4 x 2 = 8 – (0 x 12) =
8 (n = 0).
(2)
5 x 3 = 15 – (1 x 12) =
3 (n = 1).
(3)
6 x 4 = 24 – (1 x 12) =
12 (n = 2).
(4)
7 x 5 = 35 – (2 x 12) = 11 (n = 2).
(5)
8 x 10 = 80 – (6 x 12) = 8
(n = 6).
D.
Operasi
Pembagian Pada Bilangan Jam
Tabel 3. 1
Perkalian pada Bilangan
Jam Empatan
|
x
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
1
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
2
|
2
|
4
|
2
|
4
|
|
3
|
3
|
2
|
1
|
4
|
|
4
|
4
|
4
|
4
|
4
|
Dapat
kita lihat bahwa untuk beberapa bilangan pada sistem jam empatan, pengerjaan
itu berlaku. Perhitungannya dapat kita lakukan karena pengajaran bagi itu
berlaku. Perhitungannya dapat kita lakukan karena pengajaran bagi itu merupakan
lawan dari pengerjaan kali. Misalnya, 2 : 3 = 2, 2 x 3 = 2. Tetapi 3 : 2 tidak
mempunyai penyelesaian, karena tidak ada bilangan pada tabel tersebut yang bila
dikalikan dengan 2 menghasilkan 3.
Berlainan
lagi dengan 2 : 2 yang mempunyai jawab 1 dan 3, karena 1 x 2 = 2 dan 3 x 2 = 2.
Oleh karena itu, pengerjaan bagi pada sistem jam empatan tidak tertutup. Kita tidak hanya dapat membuat sistem jam empatan,
tetapi sistem jam k-an lainnya. Dan pengerjaan bagi pada aritmatika jam k-an tersebut tidak
tertutup.
E.
Sifat-Sifat
Operasi Pada Bilangan Jam
Berikut
ini diberikan tabel penjumlahan, pengurangan, dan perkalian untuk sistem bilangan jam delapanan.
Tabel 3. 2
Penjumlahan pada Bilangan Jam Delapanan
|
+
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
1
|
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
1
|
2
|
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
1
|
2
|
3
|
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
5
|
6
|
7
|
8
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
6
|
7
|
8
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
7
|
8
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
|
8
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
Tabel 3. 3
Pengurangan pada Bilangan Jam Delapanan
|
-
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
1
|
8
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
7
|
1
|
|
2
|
1
|
8
|
7
|
6
|
5
|
4
|
6
|
2
|
|
3
|
2
|
1
|
8
|
7
|
6
|
5
|
5
|
3
|
|
4
|
3
|
2
|
1
|
8
|
7
|
6
|
4
|
4
|
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
8
|
7
|
3
|
5
|
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
8
|
2
|
6
|
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
8
|
7
|
|
8
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
8
|
Tabel 3. 4
Perkalian pada Bilangan Jam Delapanan
|
x
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
1
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
2
|
2
|
4
|
6
|
8
|
2
|
4
|
6
|
8
|
|
3
|
3
|
6
|
1
|
4
|
7
|
2
|
5
|
8
|
|
4
|
4
|
8
|
4
|
8
|
4
|
8
|
4
|
8
|
|
5
|
5
|
2
|
7
|
4
|
1
|
6
|
3
|
8
|
|
6
|
6
|
4
|
2
|
8
|
6
|
4
|
2
|
8
|
|
7
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
8
|
|
8
|
8
|
8
|
8
|
8
|
8
|
8
|
8
|
8
|
Dari
tabel di atas dapat ditunjukan bahwa pada sistem bilangan jam secara umum
berlaku sifat-sifat sebagai berikut:
(1)
Sifat Komutatif
a + b = b + a
a x b = b x a
(2)
Sifat assosiatif
a + (b+c) = (a + b) + c
a x (b x c) = (a x b) x
c
(3)
Sifat Distributif
a x (b + c) = (a x b) +
(a x c)
a
x (b – c) = (a x b) – (a x c)
